เอาหละ ก่อนอื่น อยากบอกว่า แนวคิดในการทำโจทย์เรื่องการจัดลำดับเนี่ย มันแล้วแต่บุคคลเน่อ บางทีอาจจะคิดคนละแนวกัน ถ้าคำตอบที่ได้มันเท่ากันก็ ok
อนึ่ง ถ้าโจทย์หรือแนวคิดอะไรเราทำผิดพลาดไป ก็แย้งๆกันมาได้เน่อ~
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เริ่มจากประเด็นที่ 1 : คนยืนเรียงกันเป็นเส้นตรง ( มาดูการเล่นคำของโจทย์กัน )
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
โจทย์ : แม่ค้าขายของ 5 คน นั่งเรียงกันเป็นแถวได้กี่วิธี เมื่อ
1) มีแม่ค้า A และแม่ค้า B อยู่ใน 5 คนนี้ด้วย และแม่ค้า A และ B ต้องนั่งติดกันเสมอ
เฉลย : 2! x 4! วิธี
แนวคิด : จับแม่ค้า A และ B ให้อยู่ติดกันก่อนนับเป็น 1 ก้อน นำมาเรียงกับแม่ค้าอื่นๆ อีก 3 คน วิธีเลยได้ 4x3x2x1 = 4! วิธี และแม่ค้า AB ที่อยู่ติดกันนั้น ยังสลับกันเองได้อีก 2! วิธี ดังนั้นวิธีทั้งหมดจึงเท่ากับ 2!x4! วิธี
2) มีแม่ค้า 2 คน ขอ นั่งติดกัน
เฉลย : 2! x 4! วิธี
แนวคิด : เหมือนข้อทางด้านบนเป๊ะๆเลย คือ แม่ค้า 2 คนที่เค้า request ว่าอยากจะนั่งติดกันอะ เค้า fix แล้ว แบบไม่ใช่ว่าใครก็ได้ที่จะมานั่งติดกัน แต่เป็นแม่ค้า 2 คนที่ขอ ดังนั้น วิธีเรียงจึงเหมือนกับแม่ค้า AB นั่งติดกัน
หมายเหตุ : สำหรับคนที่งง ว่าจะรู้ได้ไงอะว่า 2 คนนั้นคือใคร ตอบได้เลยว่าคือ 2 คนที่ขอ ว่าจะนั่งอยู่ติดกัน
3) มีแม่ค้า 2 คนนั่งติดกันเสมอ
เฉลย : 5x4x4! วิธี
แนวคิด : ข้อนี้โจทย์ไม่ได้เจาะจงคนที่นั่งติดกันมา เราเลยต้องเลือกแม่ค้าที่จะนั่งติดกันก่อน แม่ค้าคนแรกมีกรณีที่เกิดขึ้นได้ 5 กรณี ส่วนคนที่ 2 มีโอกาสเลือกได้ 4 กรณี จึงได้เป็น 5x4 กรณี หลังจากนั้นให้สองคนที่เลือกแล้วได้นั่งอยู่ติดกัน และนับเป็น 1 ก้อนเหมือนเดิม จัดเรียงทั้งหมดได้ 5x4x4! กรณี
หมายเหตุ : สำหรับคนที่งงว่าทำไม 5x4 แล้วไม่ต้องสลับอีก 2! ติดตามได้ในกรณีถัดไป
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ประเด็นที่ 2 : ลำดับความคิดในการเรียงของ
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
อ้างอิงจากข้อ 1.3 ทางด้านบนนะ ปัญหา คือ ทำไมถึงไม่คูณ 2! คำตอบ คือ กรณีที่สลับกันมันรวมอยู่ในคำตอบแล้ว
ลองๆคิดดูนะ เวลาเราจะเรียงของอะไรซักอย่าง เช่น มีของแตกต่างกัน 5 ชิ้น นำมาเรียง 3 ชิ้นได้กี่วิธี
เฉลย : 5x4x3 วิธี
แนวคิดแรก : คล้ายๆกฎการนับ คือ เลือก 3 ชิ้น ชิ้นแรกเราเลือกได้ 5 วิธี ( ตอนนี้ของมี 5 ชิ้น ) ชิ้นที่สองเราเลือกได้ 4 วิธี ( ของที่เหลืออยู่มี 4 ชิ้น ไม่รวมชิ้นที่เลือกไปก่อนหน้า ) ชิ้นที่สามเราเลือกได้ 3 วิธี ( ของที่เหลืออยู่มี 3 ชิ้น ไม่รวมชิ้นที่เลือกไปก่อนหน้า 2 ชิ้น ) วิธีที่ได้คือ 5x4x3 วิธี
แนวคิดที่สอง : ลำดับความคิดในการเรียงของเรา คือ "ต้องเลือกก่อนแล้วค่อยเรียง" ใช่ป่ะ? ซึ่งเวลาเลือกเราใช้ เครื่องหมาย C ในข้อนี้คือ C(5,3) เลือก 3 ชิ้นจาก 5 ชิ้น หลังจากนั้นเราเอา 3 ชิ้นที่เลือกแล้ว มาเรียงต่อได้เป็น 3! วิธี ดังรูป
เห็นได้ว่า กรณี 3! ได้ถูกรวมไปแล้ว แต่มันดันไปตัดกันต่างหาก และแนวคิดนี้ เฉพาะเราเองอาจจะเดาว่ามันเป็นการกำเนิดของสูตร P ที่เราใช้ๆกันอยู่อะ เพราะตามปกติแล้วลำดับความคิดของมนุษย์เราต้องเลือกของก่อนถึงจะเอามาเรียงได้นะ (ใครรู้ข้อเท็จจริงยังไงก็รบกวนบอกด้วยเน่อ)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ประเด็นที่ 3 : คนนั่งแยกกันในแนวเส้นตรง
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
โจทย์ : มีแม่แมวและลูกแมวอีก 9 ตัว ลูกแมวทุกตัวสีแตกต่างกันทั้งหมด เนื่องจากลูกแมวสีดำกับลูกแมวสีทึนทึก ชอบทะเลาะและอิจฉาริษยากันอยู่เป็นประจำ แม่แมวจะตัดสินใจแยกลูกทั้งสองตัวนี้ออกจากกันได้กี่วิธี โดยที่แม่แมวต้องอยู่หน้าเสมอ
เฉลย : 8x7x7! วิธี
แนวคิด : ก่อนอื่นแยกแมว 2 ตัวที่เป็นปัญหาออกมาก่อน คือ ดำและทึนทึก จะเหลือลูกแมวอยู่ 7 ตัว ทำการสลับลูกแมวที่เหลือได้ 7! วิธี ทีนี้เราอยากแยกแมว 2 ตัวนี้ไม่ให้อยู่ติดกัน แสดงว่าต้องมีแมวตัวอื่นๆมาคั่นใช่ป่าว วิธีทำที่ได้เลยได้แบบในแผนภาพ ถ้าเราเอา ดำและทึนทึก ไปแทรกตามช่องว่าง 8 ช่อง มันก็จะไม่อยู่ติดกันแล้ว คือ ดำแทรกได้ 8 กรณี ส่วนทึนทึกแทรกได้ 7 กรณี
ดังนั้นวิธีทั้งหมด = 8x7x7! วิธี (อาจจะมีคนคิดแนวอื่นก็ได้ บางคนได้ 8!x7 ซึ่งก็เท่ากัน)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ประเด็นที่ 4 : ของซ้ำ (ไม่ถือลำดับของกลุ่มเป็นสำคัญ)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
โจทย์ : แบ่งนักเรียนห้องม.6/6 (จำนวน 32 คน) ตอนวันรับน้องเป็น 4 กลุ่ม กลุ่มละ 8 คน จะแบ่งได้กี่วิธี
เฉลย :
แนวคิด : จากที่เรียนมาว่าอะไรซ้ำให้เรียงทั้งหมดก่อนแล้วหารด้วยจำนวนที่ซ้ำ ซึ่งในข้อนี้ไม่มีความแตกต่างระหว่างกลุ่ม คล้ายๆกับว่ากลุ่มไหนก็ไม่ต่างกัน จึงต้องหารด้วย 4! อีกทีนึง
สำหรับคนที่ยังงงนะ ให้ลองเปรียบเทียบกับข้อนี้ดู
โจทย์ : แบ่งนักเรียนห้องม.6/6 (จำนวน 32 คน) ตอนวันรับน้องเป็น 4 กลุ่ม กลุ่มละ 8 คน โดยกลุ่มนึงจะต้องเตรียมอุปกรณ์รับน้อง กลุ่มนึงจะต้องทำป้ายชื่อ กลุ่มนึงคิดกิจกรรม และอีกกลุ่มนึงจะต้องเตรียมการนำเสนอ จะแบ่งได้กี่วิธี
เฉลย : 32! / 8!x8!x8!x8! เฉยๆ
แนวคิด : เพราะข้อนี้เหมือนมันเฉพาะเจาะจงแล้วว่ากลุ่มไหนต้องทำอะไร ไม่ใช่ว่าเป็นกลุ่มอะไรก็ได้ อยู่กลุ่มไหนก็ต้องทำหน้าที่ตามกลุ่มนั้น (หน้าที่แตกต่างกัน)
สำหรับคนที่ยังงงอีก ให้ลองดูข้อนี้
โจทย์ : แบ่งนักเรียนห้องม.6/6 (จำนวน 32 คน) ตอนวันรับน้องเป็น 4 กลุ่ม กลุ่มละ 8 คน โดยมี 2กลุ่มจะต้องเตรียมอุปกรณ์รับน้อง กลุ่มนึงจะต้องทำป้ายชื่อ และอีกกลุ่มนึงจะต้องเตรียมการนำเสนอ จะแบ่งได้กี่วิธี
เฉลย : 32! / 8!x8!x8!x8! x2! ด้วย
แนวคิด : 2! ที่เพิ่มมาคือ ดันมีกลุ่มที่ไม่แตกต่างกันอยู่ 2 กลุ่ม
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ประเด็นที่ 5 : เริ่มต้นกับความน่าจะเป็นกันเถอะ
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
โจทย์ : กล่องใบที่ 1 มีลูกหินสีขาว 3 ลูก สีแดง 4 ลูก กล่องใบที่ 2 มีลูกหินสีขาว 5 ลูก สีแดง 7 ลูก สุ่มหยิบลูกหินจากกล่องทั้ง 2 กล่อง กล่องละ 1 ลูก หาความน่าจะเป็นที่จะได้สีขาวทั้ง 2 ลูก
เฉลย : n(S) = C(7,1)xC(12,1) = 84 วิธี n(E) = C(3,1)xC(5,1) = 15 วิธี ดังนั้นความน่าจะเป็น = 15/84 = 5/28 วิธี
แนวคิด : ใช้ C เวลาเลือกของตามปกติ อยากได้อะไรให้มองเฉพาะกลุ่มที่อยากได้ เช่นอยากได้ลูกหินสีขาว 1 ลูกก็มองเฉพาะลูกหินสีขาวพอ
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
